Michaelis-Menten酵素動力學一般解：Lambert W function
Michaelis-Menten速率積分式 在描述一個酵素催化反應的速率時最典型的方法就是使用Michaelis-Menten表達式 $$\frac{d[A]}{dt} =- \frac{V_{max}[A]}{[A]+K_{M}} $$ 其中在基質濃度$[A]$很大的時候A的消耗速率能達到最大值$V_{max}$ 而$K_{M}$則表達了要多高的濃度 $[A]$才可以達到最大消耗速率的一半 $\frac{V_{max}}{2}$ 在學習基本的化學動力學時我們都聽過零級，一級，以及二級反應 利用積分的方式我們可以得到 $[A]$隨著時間t消耗的關係式 這樣我們便能藉由動力學實驗配合積分速率式得到相應的速率常數 然而我們能夠用同樣的方式處理Michaelis-Menten速率式嗎？ 答案是肯定的 首先我們需要將 $[A]$和時間項t分開至等號兩側並積分 $$\int_{[A]_{0}}^{[A]} 1+ \frac{K_{M}}{[A]} d[A] = -\int_0^t V_{max}dt $$ 積分後整理可以得到 $$ln([A])+ \frac{[A]}{K_{M}} =ln([A]_{0})+ \frac{[A]_{0}-V_{max}t}{K_{M}} $$ 如果想得到 $[A](t)$的解析解 乍看之下難以辦到 我們這時需要引入 Lambert W function 的概念 Lambert W function (朗伯W函數） Lambert W function (或稱為Omega function)有以下的定義： $$y e^{y}=x \Longleftrightarrow y=W(x) $$ 注意在一般實數應用裡$x \geq -\frac{1}{e} $函數才會有定義 這個特殊函數可以被來在解許多指數方程式 只要能夠化成 $ ye^{y}=x$ 的形式 在原先的問題中為了得到指數項 只需要將非對數項用$z=ln( e^{z}) $表示即可 $$ln([A] e^{\frac{[A]}{K_{M}}}) =ln([A]_{0} e^{\frac{[A]_{0}-V_{max}t}{K_{M}}} ) $$ 將兩邊自然對數拿掉可得 $$[A] e^{\frac{[A]}{K_{M}}} =[A]_{0} e^{\frac{[A]_{0}-V
