Lie group與微分方程式的一些想法
最近對一些大學四年沒機會學的數學很感興趣，關於112化工系的工程數學內容太簡陋這件事應該不需要我多說了(當然是以一個需要進修研究所的人而言)，只不過讓我很意外的是一定會碰觸到的微分方程式方法竟然早就有一些「系統性」的方式來解決。其實也不能怪教師，因為使用的課本本身充斥著一些不是很負責任的方法論述，使人知其然卻不知其所以然，顯得很雜論無章以致淪為背誦之流。稍微研究抽象代數裡的「李群」(Lie group)和「李代數」(Lie algebra)後，才瞭解挪威數學家Sophus Lie很早就對這種雜亂無章的方式有疑惑，大概出自於Évariste Galois的啟發(也就是那位用對稱性證明一元五次方程式沒有能夠利用加減乘除與根式表達的公式解的人)，Lie也嘗試利用「對稱性」研究微分方程式的解法。「群論」是研究對稱性的數學，很可惜這種「很美」的數學大概只有一般理學院學生及少數資訊工程系學生會碰觸到。其實這種對稱性(或是不變量)的性質應用可以解釋為什麼化工單元操作需要學習因次分析，以及在許多微分方程式的解法中為何會使用一些看似莫名其妙的變數變換，以及一階非線性ODE的積分因子要怎麼求而不用依賴補習班老師的公式整理。雖然有點後見之明，但我覺得學一個東西就算不求精，至少也需要知道學問的來龍去脈。 更何況對「美」的嚮往也能加深學習的興趣。 注：這方面的繁體中文討論幾乎找不到，看來台灣還需要加油