Mr. Fan's Blog

本篇是今日上高等輸送現象時想到的題目。大三下做單元操作實驗時有一個實驗叫作“摩擦係數”，做實驗前當時的施大助教要我們解釋為什麼一個圓柱裡流動的流體它的“摩擦係數”在不同雷諾數的極端情形下會顯現不同的性質。當時我援引了turbulent flow下一個特別的shear stress公式作為輔助(應為Prandtl's mixing length)，在當時得到助教不錯的評價，但我現在想想其實不需要運用所謂“特別的公式”，光是Scaling Analysis就足以回答他的問題。 簡單複習一下，Fanning friction factor在 高雷諾數(Re)下應是常數 ，然而在 低雷諾數下卻和Re成一次方反比 ，在這邊我們就要證明這件事。我們可以從一段長度為Ｌ半徑為Ｒ的管柱著手，利用簡單的力平衡可以了解shear stress和壓力差有以下關係： $$\tau \times 2\pi RL = \triangle p \times \pi R^{2} $$ 移項化簡得 $$\tau = \frac{R \triangle p}{2L} $$ 另外摩擦係數的定義是   $$f = \frac{\tau}{ \frac{1}{2} \rho v^{2} } $$ 易知 $$f =   \frac{ \Delta p}{ \rho v^{2}} \frac{R}{L} $$ 接著就是要了解管內實際上發生什麼事了，Navier Stokes’ Equation是很好的切入點，因為它解釋了不同驅動流體的物理現象間的關係。Scaling Analysis的第一步是將所有方程式牽涉的變數都轉化為 無因次項， 假設我們知道流體以Ｖ的特徵速度(Characteristic velocity)流動，並且 所有長度尺度都跟半徑Ｒ差不多，我們可以列出無因次化的變數如下： $\tilde{r} = \frac{r}{R} $, $\tilde{v} = \frac{v}{V} $, $ \tilde{p} = \frac{p}{ p_{c} } $, $\tilde{ \nabla } = R \nabla$, $\tilde{\nabla}^{2}=R^{2}\nabla^{2}$ 重點來了，我們無法事先知道壓力項的尺度大概是多少。這個尺度很重要，因為我們已經建

我自己大學時在念 BSL 這本書 (Transport Phenomena by Bird, Stewart, and Lightfoot) 常遇到一些問題，學過單元操作的人都知道 無因次群 (Nondimensional group) 的重要性，最直觀的應用就是大幅簡化不同物理變數間可能存在的關係，工程首重 應用性 ，其中的物理意義反倒是其次，這讓我想到高中時一位數理班學長用因次分析研究蜻蜓振翅頻率與升力的關係，最後評審在報告末尾的評語寫上了“缺乏物理意義”，他想當然最後與獎項失之交臂。以前讀過費曼所著<別管別人想什麼>，費曼也提到他參與的一項火箭升空墜落調查計畫中，工程師使用 迴歸分析 這種缺乏物理意義的設計依據非常有問題，當時看了真為自己是學工程而非科學而捏了把冷汗。      然而因次分析我認為仍然是大學四年能帶走的重要資產，它讓不同物理機制的作用能用簡潔的方式表達出來。高等輸送現象把因次分析更進一步推廣到 尺度分析(Scaling Analysis) ，這解釋了BSL書中對方程式作無因次化時常引入一些莫名其妙的 參考尺度 的道理：無因次化本身是一個非常隨意的過程，反正只要讓最後的物理量全部沒有因次就可以了，然而錯誤的無因次化會讓這個過程變得沒有意義。只有當我們選擇對的無因次參考尺度時，我們才能 從方程式中決定哪一項（或哪個物理效應）可以被忽略 。這部分我另外參考了國立新加坡大學的 William B. Krantz寫的 Scaling Analysis in Modeling Transport and Reaction Processes 這本書，他有非常有系統地介紹。舉例來說，流體力學講的Navier Stokes‘ Equation本身包含了 慣性項 (inertial term) 和 黏滯項(viscous term) ，當我們選擇適當的參考尺度使得這兩項都只有 O(1) 的尺度時（簡單來說就是不管是微分項啦、散度啦等等實際的數值會在1附近，至多不超過10），這時這兩項前面帶的“係數”就是大家熟知的Reynolds’ number (Re)。如果Re本身很大，黏滯項相比很小就可以從方程式當中去掉，我們就知道黏滯力對流體的行為影響很小幾乎可以忽略了。注意喔可以這麼做完全是因為我們已經把這些無因次群之外的東西都 限制在同一個尺度了 ！ (也