化工尺度分析

我自己大學時在念BSL這本書 (Transport Phenomena by Bird, Stewart, and Lightfoot) 常遇到一些問題，學過單元操作的人都知道無因次群 (Nondimensional group) 的重要性，最直觀的應用就是大幅簡化不同物理變數間可能存在的關係，工程首重應用性，其中的物理意義反倒是其次，這讓我想到高中時一位數理班學長用因次分析研究蜻蜓振翅頻率與升力的關係，最後評審在報告末尾的評語寫上了“缺乏物理意義”，他想當然最後與獎項失之交臂。以前讀過費曼所著<別管別人想什麼>，費曼也提到他參與的一項火箭升空墜落調查計畫中，工程師使用迴歸分析這種缺乏物理意義的設計依據非常有問題，當時看了真為自己是學工程而非科學而捏了把冷汗。    

然而因次分析我認為仍然是大學四年能帶走的重要資產，它讓不同物理機制的作用能用簡潔的方式表達出來。高等輸送現象把因次分析更進一步推廣到尺度分析(Scaling Analysis)，這解釋了BSL書中對方程式作無因次化時常引入一些莫名其妙的參考尺度的道理：無因次化本身是一個非常隨意的過程，反正只要讓最後的物理量全部沒有因次就可以了，然而錯誤的無因次化會讓這個過程變得沒有意義。只有當我們選擇對的無因次參考尺度時，我們才能從方程式中決定哪一項（或哪個物理效應）可以被忽略。這部分我另外參考了國立新加坡大學的William B. Krantz寫的Scaling Analysis in Modeling Transport and Reaction Processes這本書，他有非常有系統地介紹。舉例來說，流體力學講的Navier Stokes‘ Equation本身包含了慣性項 (inertial term)和黏滯項(viscous term)，當我們選擇適當的參考尺度使得這兩項都只有O(1)的尺度時（簡單來說就是不管是微分項啦、散度啦等等實際的數值會在1附近，至多不超過10），這時這兩項前面帶的“係數”就是大家熟知的Reynolds’ number (Re)。如果Re本身很大，黏滯項相比很小就可以從方程式當中去掉，我們就知道黏滯力對流體的行為影響很小幾乎可以忽略了。注意喔可以這麼做完全是因為我們已經把這些無因次群之外的東西都限制在同一個尺度了！(也就是 O(1)) 雖然不明顯，但是這樣做跟單純使用Buckingham’s Pi theorem決定可能有哪些無因次群會得到更為深刻的物理了解，且直接用Ｂ理論可能會得到很多累贅的無因次群（比方說你用Ｂ理論會預測應該有8個但實際上只有3個是重要的）。

前面講的尺度分析也和許多人頭痛的邊界層問題(Boundary layer problem)很有關係。Boundary layer本身是個數學產物，我們在無因次的時候常會拿物體本身的大小去當特性長度，然而這樣做就先假設了你關心的物理現象會發生在物體的所～有～地～方！實際上卻不是這樣，比方說當Re很大的時候你會以為黏滯力從此就不重要了，但是實驗卻告訴你它存在，肯定是哪裡出問題了，其實它在很靠近物體邊緣的地方才有用，用尺度分析你會發現特性長度L跟Re本身有關($L Re^{m} $)!在這個長度L內黏滯和慣性項都很重要，而且d會隨著Re增加而變小，而m是一個可以在比較方程式各項大小重要性後決定的常數，學單元操作二的時候我們背過的1/2, 1/3次方就是這樣來的！

在了解空間中竟然可以區分為好幾個不同特性的“區域”後，要如何得到一個一致的“解”就是Leal這本書主要在探討的問題了。大學學了半天我們也只會解線性微分方程式，遇到Navier Stokes' Equation一般的狀況就完全束手無策了，因為它包含了非線性項。不知到誰發展了一個奇招，當你發現方程式某個量很小的時候（比如說Re)，我們常常可以把方程式的解表示成這種很小量的“級數和”，把這個級數和代回方程式後分別收集含有相同次方的項，會發現整個問題變成在解一堆“經過簡化”的方程式！妙的是它們常常是線性的，只要有耐心每一項都可以慢慢解出。這個方法又稱為漸近展開或微擾法(Pertubation Theory)。這方法我自己覺得非常麻煩而且不是一個很elegant的方法，還有很多變體，像對空間也可以微擾（比方說你想知道在一個有點曲折不平的兩塊板子中間流體怎麼流動），都只是工程師為了更加理解問題採取的暴力手段，但目的達成了，即便我們得到了形式很醜的解析解。