單元操作摩擦係數(Friction factor)與雷諾數(Renolds number)的關係(尺度分析）

本篇是今日上高等輸送現象時想到的題目。大三下做單元操作實驗時有一個實驗叫作“摩擦係數”，做實驗前當時的施大助教要我們解釋為什麼一個圓柱裡流動的流體它的“摩擦係數”在不同雷諾數的極端情形下會顯現不同的性質。當時我援引了turbulent flow下一個特別的shear stress公式作為輔助(應為Prandtl's mixing length)，在當時得到助教不錯的評價，但我現在想想其實不需要運用所謂“特別的公式”，光是Scaling Analysis就足以回答他的問題。

簡單複習一下，Fanning friction factor在高雷諾數(Re)下應是常數，然而在低雷諾數下卻和Re成一次方反比，在這邊我們就要證明這件事。我們可以從一段長度為Ｌ半徑為Ｒ的管柱著手，利用簡單的力平衡可以了解shear stress和壓力差有以下關係：

$$\tau \times 2\pi RL = \triangle p \times \pi R^{2} $$

移項化簡得

$$\tau = \frac{R \triangle p}{2L} $$

另外摩擦係數的定義是 

$$f = \frac{\tau}{ \frac{1}{2} \rho v^{2} } $$

易知

$$f =   \frac{ \Delta p}{ \rho v^{2}} \frac{R}{L} $$

接著就是要了解管內實際上發生什麼事了，Navier Stokes’ Equation是很好的切入點，因為它解釋了不同驅動流體的物理現象間的關係。Scaling Analysis的第一步是將所有方程式牽涉的變數都轉化為無因次項，假設我們知道流體以Ｖ的特徵速度(Characteristic velocity)流動，並且所有長度尺度都跟半徑Ｒ差不多，我們可以列出無因次化的變數如下：$\tilde{r} = \frac{r}{R} $, $\tilde{v} = \frac{v}{V} $, $ \tilde{p} = \frac{p}{ p_{c} } $, $\tilde{ \nabla } = R \nabla$, $\tilde{\nabla}^{2}=R^{2}\nabla^{2}$

重點來了，我們無法事先知道壓力項的尺度大概是多少。這個尺度很重要，因為我們已經建立起friction factor f和壓力差的關係，當我們知道了壓力尺度，就可以推估f的尺度！先以一個$p_{c}$代表特徵壓力。假設整個系統已達到steady-state，Navier Stokes’ Equation內的時間微分項就是零。當我們把無因次化的變數通通代進去就會得到：

$$\rho v . \nabla v = - \nabla p + \mu \nabla ^{2}v$$

$$\frac{ \rho V^{2}}{R} \tilde{v} . \tilde{ \nabla } \tilde{v} = -\frac{p_{c}}{R} \tilde{\nabla}\tilde{p} + \frac{ \mu V}{R^{2}} \tilde{\nabla}^{2} \tilde{v} $$

剛剛說過，方程式的各項代表的是某種物理意義，現在就要決定哪些是真正重要的物理機制！Scaling Analysis會讓重要的項前面的係數是1，比方說假如你覺得慣性項很重要，就將慣性項前面的係數搬到等號右邊去。對$Re \gg 1$我們有

$$\tilde{v} . \tilde{ \nabla } \tilde{v}  =  -\frac{p_{c}}{ \rho V^{2}} \tilde{\nabla}\tilde{p} +  \frac{1}{Re}  \tilde{\nabla}^{2}  \tilde{v}$$

而對$Re \ll 1$我們有

$$Re\tilde{v} . \tilde{ \nabla } \tilde{v}  =  -\frac{Rp_{c}}{ \mu V} \tilde{\nabla}\tilde{p} +  \tilde{\nabla}^{2}  \tilde{v}$$

這時候因為所有無因次的項作了尺度伸縮後已經是 O(1)，所以決定每項重要性（大小）的關鍵就是每一項前面剩下的係數。在(1)式中如果剛好Re很大，黏滯力那項就會變得很小，從方程式中剔除。同時因為左邊的尺度是O(1)，必須讓右邊的尺度也是Ｏ(1)，由此就解出在Re很大的時候特徵壓力應該要長什麼樣子了。反之如果你覺得黏滯項很重要，將黏滯項前面的係數搬到其他項去使得最後係數是1，用同樣的方法可以推論出Re很小的時候特徵壓力的長相：

$$p_{c} =\begin{cases}\rho V^{2} & Re  \gg  1\\ \frac{\mu V}{R}& Re  \ll  1\end{cases} $$

在得到特徵壓力後，把無因次化的變量全部代回friction factor裡就得到最後的結論了！

$$f =\begin{cases} \frac{ \Delta \tilde{p} }{ \tilde{v}^{2} } \frac{R}{L} & Re \gg 1\\ \frac{ \Delta \tilde{p} }{ \tilde{v}^{2} } \frac{R}{L} \frac{1}{Re} & Re \ll 1\end{cases} $$

可以發現雷諾數小時(laminar flow)，f和Re成一次方反比;而雷諾數大時(turbulent flow)，f是個常數。