單元操作摩擦係數(Friction factor)與雷諾數(Renolds number)的關係(尺度分析）
本篇是今日上高等輸送現象時想到的題目。大三下做單元操作實驗時有一個實驗叫作“摩擦係數”，做實驗前當時的施大助教要我們解釋為什麼一個圓柱裡流動的流體它的“摩擦係數”在不同雷諾數的極端情形下會顯現不同的性質。當時我援引了turbulent flow下一個特別的shear stress公式作為輔助(應為Prandtl's mixing length)，在當時得到助教不錯的評價，但我現在想想其實不需要運用所謂“特別的公式”，光是Scaling Analysis就足以回答他的問題。 簡單複習一下，Fanning friction factor在 高雷諾數(Re)下應是常數 ，然而在 低雷諾數下卻和Re成一次方反比 ，在這邊我們就要證明這件事。我們可以從一段長度為Ｌ半徑為Ｒ的管柱著手，利用簡單的力平衡可以了解shear stress和壓力差有以下關係： $$\tau \times 2\pi RL = \triangle p \times \pi R^{2} $$ 移項化簡得 $$\tau = \frac{R \triangle p}{2L} $$ 另外摩擦係數的定義是 $$f = \frac{\tau}{ \frac{1}{2} \rho v^{2} } $$ 易知 $$f = \frac{ \Delta p}{ \rho v^{2}} \frac{R}{L} $$ 接著就是要了解管內實際上發生什麼事了，Navier Stokes’ Equation是很好的切入點，因為它解釋了不同驅動流體的物理現象間的關係。Scaling Analysis的第一步是將所有方程式牽涉的變數都轉化為 無因次項， 假設我們知道流體以Ｖ的特徵速度(Characteristic velocity)流動，並且 所有長度尺度都跟半徑Ｒ差不多，我們可以列出無因次化的變數如下： $\tilde{r} = \frac{r}{R} $, $\tilde{v} = \frac{v}{V} $, $ \tilde{p} = \frac{p}{ p_{c} } $, $\tilde{ \nabla } = R \nabla$, $\tilde{\nabla}^{2}=R^{2}\nabla^{2}$ 重點來了，我們無法事先知道壓力項的尺度大...
